Arquímedes

Arquímedes nació en Siracusa, ciudad griega de Sicilia, hacia el año 287 a. C. Fue matemático, físico e inventor, y obtuvo resultados decisivos en geometría, estática e hidrostática. La fecha aproximada de su nacimiento no procede de un registro contemporáneo: se calcula a partir del testimonio del erudito bizantino Juan Tzetzes, quien, muchos siglos después, afirmó que murió a los 75 años.

Siracusa y el mundo científico helenístico

Su padre, Fidias, fue astrónomo, según indica el propio Arquímedes en El arenario. Del resto de su familia sabemos muy poco. La Siracusa de su tiempo mantenía contactos políticos y comerciales con otras ciudades mediterráneas, mientras Alejandría, bajo los Ptolomeos, reunía una importante comunidad de estudiosos que trabajaba sobre la tradición de Euclides.

Se considera probable que Arquímedes visitara Alejandría, aunque su estancia allí no está demostrada. Sí conocemos sus intercambios intelectuales con Conón de Samos, Eratóstenes y Dositeo de Pelusio, destinatario de varios tratados. Sus prólogos muestran que comunicaba proposiciones a otros matemáticos y daba especial importancia a distinguir un resultado anunciado de otro rigurosamente demostrado.

Las fuentes antiguas lo vinculan al rey Hierón II. Plutarco llegó a presentarlos como parientes, pero ese parentesco no puede comprobarse. La dedicatoria de El arenario a Gelón, hijo del monarca, confirma al menos un vínculo con el entorno de la corte.

Geometría: medir lo que parecía imposible

Arquímedes perfeccionó el método de agotamiento, desarrollado anteriormente por Eudoxo de Cnido. Consistía en aproximarse a una superficie o a un volumen mediante figuras conocidas y demostrar, por reducción al absurdo, que la diferencia restante podía hacerse tan pequeña como se quisiera. No era todavía cálculo integral, pero resolvía con rigor problemas que este abordaría muchos siglos después.

En Medición del círculo acotó el valor de π utilizando polígonos inscritos y circunscritos de 96 lados: 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, aproximadamente entre 3,1408 y 3,1429. En Cuadratura de la parábola demostró que el área de un segmento parabólico equivale a cuatro tercios de la de cierto triángulo inscrito. Expresado en notación moderna, la suma de las áreas de triángulos sucesivos responde a A(1 + 1/4 + 1/16 + …) = 4A/3.

En Sobre la esfera y el cilindro probó que tanto el volumen como la superficie de una esfera son dos tercios de los del cilindro que la circunscribe, contando también las dos bases del cilindro en la comparación de superficies. En símbolos actuales, el volumen es V = 4πr³/3 y la superficie S = 4πr². Consideraba estos resultados especialmente valiosos. En Sobre las espirales estudió las propiedades de una curva generada por movimientos uniformes, y en Sobre conoides y esferoides investigó volúmenes de sólidos curvos.

El método: descubrir con la mecánica, demostrar con la geometría

Una singularidad de Arquímedes fue recurrir a la mecánica para encontrar verdades geométricas. Imaginaba figuras divididas en secciones muy finas, atribuía a esas secciones pesos proporcionales a sus áreas y las situaba mentalmente a distintas distancias sobre una balanza. La ley de la palanca permitía comparar figuras difíciles con otras conocidas y anticipar una relación entre sus áreas o volúmenes.

Ese razonamiento servía para descubrir el resultado, no para darlo por probado. Después construía una demostración geométrica estricta, frecuentemente mediante agotamiento. El propio Arquímedes explicó esta diferencia en El método de los teoremas mecánicos, dirigido a Eratóstenes. La distinción entre búsqueda y demostración ayuda a comprender cómo convivían en su trabajo el inventor de máquinas y el geómetra exigente.

En Sobre el equilibrio de los planos estableció resultados sobre centros de gravedad y equilibrio de las palancas. En términos modernos, dos fuerzas se equilibran cuando sus momentos respecto al punto de apoyo se compensan: F₁ × d₁ = F₂ × d₂. La célebre frase «Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo», recogida en esa forma por Papo de Alejandría siglos después, resume esa idea, pero no puede considerarse una cita literal comprobada. La autenticidad de algunas proposiciones iniciales de este tratado también ha suscitado debates entre historiadores de las matemáticas.

La flotación y la leyenda de la corona

En Sobre los cuerpos flotantes formuló las bases de la hidrostática y estudió las condiciones de flotación y estabilidad. El principio que lleva su nombre establece que un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido recibe una fuerza de empuje vertical hacia arriba igual al peso del fluido desplazado. En notación moderna, E = ρ × g × V, donde ρ es la densidad del fluido y V el volumen sumergido. La relación entre ese empuje y el peso del cuerpo determina si flota o se hunde.

Debe distinguirse este principio de la historia de la corona de Hierón II. Según Vitruvio, Arquímedes ideó una forma de averiguar si el orfebre había mezclado plata con el oro entregado por el rey: comparó el volumen de agua desplazado por la corona y por masas de metales de igual peso. La narración incluye el célebre «¡Eureka!», pero se escribió más de dos siglos después y no describe por sí misma la formulación de la ley del empuje. Además, la precisión práctica del procedimiento relatado ha sido discutida.

Inventos, barcos y la defensa de Siracusa

Arquímedes aplicó sus conocimientos a poleas compuestas y otros mecanismos capaces de desplazar grandes cargas. El llamado tornillo de Arquímedes, destinado a elevar agua mediante una hélice giratoria, es una de las máquinas asociadas a su nombre, aunque no está acreditado que fuera su primer inventor. El escritor Ateneo menciona su empleo para achicar agua en el enorme barco Siracusia, construido por orden de Hierón II; ello no demuestra que Arquímedes diseñara la nave.

La tradición atribuye al matemático una exhibición del poder de las poleas al mover un barco con un esfuerzo relativamente pequeño. Esa imagen contrasta con el retrato de Plutarco, que lo presenta dedicado por encima de todo a la geometría. No conviene aceptar literalmente cada detalle de esa caracterización: sus propios tratados muestran que la mecánica también formaba parte de su pensamiento científico.

Durante la segunda guerra púnica, Roma sitió Siracusa. Las máquinas defensivas atribuidas a Arquímedes lanzaban proyectiles sobre las tropas atacantes y dificultaban la aproximación de las embarcaciones. Algunas narraciones describen dispositivos con ganchos capaces de sujetar y desequilibrar barcos, conocidos modernamente como la «garra de Arquímedes». Los relatos antiguos sustentan la existencia de ingenios defensivos, aunque sus detalles técnicos y su eficacia exacta son difíciles de reconstruir. La leyenda de los espejos incendiarios carece de pruebas históricas suficientes.

Muerte, manuscritos y legado

Arquímedes murió en 212 a. C., cuando los romanos tomaron Siracusa bajo el mando de Marco Claudio Marcelo. Plutarco transmitió versiones diferentes: en una, un soldado lo mata porque se resiste a abandonar una demostración geométrica; en otra, muere mientras transporta instrumentos matemáticos. Ninguna permite reconstruir con certeza sus últimos minutos. La frase «No molestes a mis círculos» pertenece a esa tradición, no a un testimonio contemporáneo.

Según Cicerón, en el año 75 a. C. encontró su tumba gracias a una esfera y un cilindro representados sobre el monumento. Su obra fue estudiada y transmitida durante siglos, y sus resultados influyeron posteriormente en matemáticos y físicos como Galileo Galilei.

Un hallazgo moderno permitió conocer mejor su manera de investigar. En 1906, Johan Ludvig Heiberg identificó textos de Arquímedes borrados y reutilizados en un libro medieval de oraciones. El manuscrito, conocido como Palimpsesto de Arquímedes, fue vendido en una subasta en 1998 y confiado para su conservación y estudio al Walters Art Museum de Baltimore. Las técnicas de imagen posteriores permitieron recuperar partes difíciles de leer.

El palimpsesto conserva testimonios esenciales de El método y del Stomachion, un problema de disección geométrica cuyo alcance original sigue siendo objeto de estudio, además del único testimonio conservado en griego de Sobre los cuerpos flotantes. A ello se suma el llamado problema de los bueyes, poema matemático atribuido a Arquímedes que plantea un complejo cálculo con rebaños y números enteros, aunque su autoría se discute. Estos textos revelan a un investigador que no se limitaba a obtener respuestas: buscaba también procedimientos para llegar a ellas y distinguir la intuición de la prueba.